3r^2+r-14 lösen

$$3 r ^ { 2 } + r - 14$$

Faktorisieren

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3r^{2}+ar+br-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-6 b=7$$

3r^{2}+r-14 als \left(3r^{2}-6r\right)+\left(7r-14\right) umschreiben.

$$\left(3r^{2}-6r\right)+\left(7r-14\right)$$

Klammern Sie 3r in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$3r\left(r-2\right)+7\left(r-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term r-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3r^{2}+r-14=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

1 zum Quadrat.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -14.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 168.

$$r=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$r=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$r=\frac{-1±13}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-1±13}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 13.

$$r=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$r=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-1±13}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -1.

$$r=-\frac{14}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$r=-\frac{7}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{7}{3} ein.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\left(r-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\left(r+\frac{7}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\times \frac{3r+7}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3r^{2}+r-14=\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Auswerten

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$