3q^2-19q+16=0 lösen

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Nach q auflösen

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3q^{2}+aq+bq+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 48 ergeben.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -19 ergibt.

$$a=-16 b=-3$$

3q^{2}-19q+16 als \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right) umschreiben.

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Klammern Sie q in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3q-16 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3q-16=0 und q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -19 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-19 zum Quadrat.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 361 zu -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -19 ist 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung q=\frac{19±13}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 19 zu 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$q=\frac{16}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung q=\frac{19±13}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$q=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{19}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Addieren Sie -\frac{16}{3} zu \frac{361}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vereinfachen.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Addieren Sie \frac{19}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$