3p^2-8p+5=0 lösen

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Nach p auflösen

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3p^{2}+ap+bp+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-5 b=-3$$

3p^{2}-8p+5 als \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right) umschreiben.

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Klammern Sie p in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3p-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3p-5=0 und p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -8 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-8 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 64 zu -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{8±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{8±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$p=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie -\frac{5}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$