3n^2-4n-15=0 lösen

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Nach n auflösen

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3n^{2}+an+bn-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -45 ergeben.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 als \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) umschreiben.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Klammern Sie 3n in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-3=0 und 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -4 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{4±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie 18 durch 6.

$$n=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{4±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Dividieren Sie 15 durch 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$