3n^2-16n+20 lösen

$$3 n ^ { 2 } - 16 n + 20$$

Faktorisieren

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3n^{2}+an+bn+20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=3\times 20=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-10 b=-6$$

3n^{2}-16n+20 als \left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right) umschreiben.

$$\left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(3n-10\right)-2\left(3n-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3n-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3n^{2}-16n+20=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

-16 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 20.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu -240.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$n=\frac{16±4}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$n=\frac{16±4}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{16±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 4.

$$n=\frac{20}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=\frac{10}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{16±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 16.

$$n=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$n=2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{10}{3} und für x_{2} 2 ein.

$$3n^{2}-16n+20=3\left(n-\frac{10}{3}\right)\left(n-2\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{10}{3} von n, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3n^{2}-16n+20=3\times \frac{3n-10}{3}\left(n-2\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3n^{2}-16n+20=\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Auswerten

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$