3n^2+47n-232=5 lösen

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 47 und c durch -237, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

47 zum Quadrat.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 2209 zu 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -47 zu \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{5053} von -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Addieren Sie 232 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Die Subtraktion von -232 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Subtrahieren Sie -232 von 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Dividieren Sie 237 durch 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Dividieren Sie \frac{47}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{47}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{47}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{47}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Addieren Sie 79 zu \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Faktor n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

\frac{47}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$