3n^2+10n=8 lösen

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Nach n auflösen

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3n^{2}+an+bn-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-2 b=12$$

3n^{2}+10n-8 als \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right) umschreiben.

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3n-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3n-2=0 und n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3n^{2}+10n=8$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 10 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

10 zum Quadrat.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 100 zu 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-10±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-10±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Dividieren Sie -24 durch 6.

$$n=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3n^{2}+10n=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie \frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie \frac{8}{3} zu \frac{25}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{5}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$