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a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3g^{2}+ag+bg-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8
Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.
1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-8 b=6
Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.
\left(3g^{2}-8g\right)+\left(6g-16\right)
3g^{2}-2g-16 als \left(3g^{2}-8g\right)+\left(6g-16\right) umschreiben.
g\left(3g-8\right)+2\left(3g-8\right)
Klammern Sie g in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.
\left(3g-8\right)\left(g+2\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term 3g-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
g=\frac{8}{3} g=-2
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3g-8=0 und g+2=0.
3g^{2}-2g-16=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
g=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
g=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}
-2 zum Quadrat.
g=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -4 mit 3.
g=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -12 mit -16.
g=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}
Addieren Sie 4 zu 192.
g=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.
g=\frac{2±14}{2\times 3}
Das Gegenteil von -2 ist 2.
g=\frac{2±14}{6}
Multiplizieren Sie 2 mit 3.
g=\frac{16}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung g=\frac{2±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 14.
g=\frac{8}{3}
Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
g=-\frac{12}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung g=\frac{2±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 2.
g=-2
Dividieren Sie -12 durch 6.
g=\frac{8}{3} g=-2
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
3g^{2}-2g-16=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
3g^{2}-2g-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)
Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.
3g^{2}-2g=-\left(-16\right)
Die Subtraktion von -16 von sich selbst ergibt 0.
3g^{2}-2g=16
Subtrahieren Sie -16 von 0.
\frac{3g^{2}-2g}{3}=\frac{16}{3}
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
g^{2}-\frac{2}{3}g=\frac{16}{3}
Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.
g^{2}-\frac{2}{3}g+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
g^{2}-\frac{2}{3}g+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
g^{2}-\frac{2}{3}g+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}
Addieren Sie \frac{16}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(g-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}
Faktor g^{2}-\frac{2}{3}g+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(g-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
g-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} g-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}
Vereinfachen.
g=\frac{8}{3} g=-2
Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.