3b^2+15b+12=0 lösen

$$3 b ^ { 2 } + 15 b + 12 = 0$$

Nach b auflösen

$$b=-4$$

$$b=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$b^{2}+5b+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als b^{2}+ab+bb+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=1\times 4=4$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 4 ergeben.

$$1,4 2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+4=5 2+2=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=1 b=4$$

b^{2}+5b+4 als \left(b^{2}+b\right)+\left(4b+4\right) umschreiben.

$$\left(b^{2}+b\right)+\left(4b+4\right)$$

Klammern Sie b in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$b\left(b+1\right)+4\left(b+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term b+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(b+1\right)\left(b+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie b+1=0 und b+4=0.

$$b=-1 b=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3b^{2}+15b+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 15 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

15 zum Quadrat.

$$b=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$b=\frac{-15±\sqrt{225-12\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 12.

$$b=\frac{-15±\sqrt{225-144}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 225 zu -144.

$$b=\frac{-15±\sqrt{81}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$b=\frac{-15±9}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$b=\frac{-15±9}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{-15±9}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -15 zu 9.

$$b=-\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie -6 durch 6.

$$b=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{-15±9}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -15.

$$b=-\frac{24}{6}$$

Dividieren Sie -24 durch 6.

$$b=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=-1 b=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3b^{2}+15b+12=0$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3b^{2}+15b+12-12=-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$3b^{2}+15b=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3b^{2}+15b}{3}=-\frac{12}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$b^{2}+\frac{15}{3}b=-\frac{12}{3}$$

Dividieren Sie 15 durch 3.

$$b^{2}+5b=-\frac{12}{3}$$

Dividieren Sie -12 durch 3.

$$b^{2}+5b=-4$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}+5b+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}+5b+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{25}{4}.

$$b^{2}+5b+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor b^{2}+5b+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$b+\frac{5}{2}=\frac{3}{2} b+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$b=-1 b=-4$$