3z^2+9z+6=0 lösen

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Nach z auflösen

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als z^{2}+az+bz+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=1 b=2$$

z^{2}+3z+2 als \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right) umschreiben.

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie z+1=0 und z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 9 und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

9 zum Quadrat.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 81 zu -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-9±3}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie -6 durch 6.

$$z=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-9±3}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$z=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$z=-1 z=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Dividieren Sie 9 durch 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Dividieren Sie -6 durch 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Vereinfachen.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$z=-1 z=-2$$