3x^2-x-2=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -x-2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$1,-6 2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-3 b=2$$

3x^{2}-x-2 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -1 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±5}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 5.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±5}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$3x^{2}-x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{2}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$