3x^2-6x-24=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -6x-24 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$x^{2}-2x-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -8 ergeben.

$$1,-8 2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-4 b=2$$

x^{2}-2x-8 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x+2=0.

$$x=4 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-6x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -6 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+288}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 36 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±18}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±18}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{6±18}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±18}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 18.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dividieren Sie 24 durch 6.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±18}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von 6.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-6x-24=0$$

Addieren Sie 24 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-6x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Die Subtraktion von -24 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-6x=-\left(-24\right)$$

Subtrahieren Sie -24 von 0.

$$3x^{2}-6x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=\frac{24}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=\frac{24}{3}$$

Dividieren Sie -6 durch 3.

$$x^{2}-2x=\frac{24}{3}$$

Dividieren Sie 24 durch 3.

$$x^{2}-2x=8$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=8+1$$

Addieren Sie 8 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=9$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$x-1=3 x-1=-3$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-2$$