3x^2-6x+1=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -6x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1,816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0,183503419$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -6 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 36 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{24}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 24.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{6}+6}{6}$$

Dividieren Sie 6+2\sqrt{6} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{6} von 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{6}}{6}$$

Dividieren Sie 6-2\sqrt{6} durch 6.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-6x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-6x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -6 durch 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$