3x^2-5x-372=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-372 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1116 ergeben.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-36 b=31$$

3x^{2}-5x-372 als \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 31 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -5 und c durch -372, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±67}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dividieren Sie 72 durch 6.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±67}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 67 von 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-62}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Addieren Sie 372 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Die Subtraktion von -372 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Subtrahieren Sie -372 von 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Dividieren Sie 372 durch 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie 124 zu \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$