3x^2-5x-250=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-250 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -750 ergeben.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-30 b=25$$

3x^{2}-5x-250 als \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 25 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -5 und c durch -250, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±55}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Dividieren Sie 60 durch 6.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±55}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 55 von 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-50}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Addieren Sie 250 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Die Subtraktion von -250 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Subtrahieren Sie -250 von 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie \frac{250}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$