3x^2-5x+2=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$-1,-6 -2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-3 b=-2$$

3x^{2}-5x+2 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -5 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±1}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±1}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -\frac{2}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$