3x^2-4x+12=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -4x+12=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}\approx 0,666666667+1,885618083i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}\approx 0,666666667-1,885618083i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -4 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-144}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu -144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-128}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -128.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{4+8\sqrt{2}i}{6}$$

Dividieren Sie 4+8i\sqrt{2} durch 6.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{2} von 4.

$$x=\frac{-8\sqrt{2}i+4}{6}$$

Dividieren Sie 4-8i\sqrt{2} durch 6.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-4x+12-12=-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-4x=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{12}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{12}{3}$$

Dividieren Sie -12 durch 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-4$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-4+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{32}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$