3x^2-31x-60=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-60 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -31 ergibt.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 als \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -31 und c durch -60, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 961 zu 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -31 ist 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{31±41}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 31 zu 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dividieren Sie 72 durch 6.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{31±41}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 41 von 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Addieren Sie 60 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Die Subtraktion von -60 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Subtrahieren Sie -60 von 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Dividieren Sie 60 durch 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Dividieren Sie -\frac{31}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{31}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{31}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{31}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Addieren Sie 20 zu \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Addieren Sie \frac{31}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$