3x^2-2x+9=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{26} durch 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{26} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{26} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dividieren Sie -9 durch 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie -3 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$