3x^2-10x-8=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-12 b=2$$

3x^{2}-10x-8 als \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -10 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 100 zu 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dividieren Sie 24 durch 6.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie \frac{8}{3} zu \frac{25}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$