3x^2+5x=138 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 138 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-138 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -414 ergeben.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-18 b=23$$

3x^{2}+5x-138 als \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 23 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+5x=138$$

138 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Die Subtraktion von 138 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 5 und c durch -138, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±41}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividieren Sie 36 durch 6.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±41}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 41 von -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-46}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+5x=138$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Dividieren Sie 138 durch 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Dividieren Sie \frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie 46 zu \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

\frac{5}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$