3x^2+5x+9=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,833333333+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,518405597i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 5 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{83} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dividieren Sie -9 durch 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Dividieren Sie \frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -3 zu \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

\frac{5}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$