3x^2+56x+80=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +56x+80=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{4\sqrt{34}-28}{3}\approx -1,558730807$$

$$x=\frac{-4\sqrt{34}-28}{3}\approx -17,10793586$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+56x+80=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 56 und c durch 80, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 3\times 80}}{2\times 3}$$

56 zum Quadrat.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\times 3\times 80}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-12\times 80}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 80.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-960}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 3136 zu -960.

$$x=\frac{-56±\sqrt{2176}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2176.

$$x=\frac{-56±8\sqrt{34}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-56±8\sqrt{34}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-56±8\sqrt{34}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -56 zu 8\sqrt{34}.

$$x=\frac{8\sqrt{34}-56}{6}$$

Dividieren Sie -56+8\sqrt{34} durch 6.

$$x=\frac{4\sqrt{34}-28}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-56±8\sqrt{34}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{34} von -56.

$$x=\frac{-8\sqrt{34}-56}{6}$$

Dividieren Sie -56-8\sqrt{34} durch 6.

$$x=\frac{-4\sqrt{34}-28}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4\sqrt{34}-28}{3} x=\frac{-4\sqrt{34}-28}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+56x+80=0$$

80 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+56x+80-80=-80$$

Die Subtraktion von 80 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+56x=-80$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+56x}{3}=-\frac{80}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{56}{3}x=-\frac{80}{3}$$

Dividieren Sie \frac{56}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{28}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{28}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{56}{3}x+\left(\frac{28}{3}\right)^{2}=-\frac{80}{3}+\left(\frac{28}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{28}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=-\frac{80}{3}+\frac{784}{9}$$

Addieren Sie -\frac{80}{3} zu \frac{784}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=\frac{544}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{28}{3}\right)^{2}=\frac{544}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{28}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{544}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{28}{3}=\frac{4\sqrt{34}}{3} x+\frac{28}{3}=-\frac{4\sqrt{34}}{3}$$

\frac{28}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4\sqrt{34}-28}{3} x=\frac{-4\sqrt{34}-28}{3}$$