3x^2+4x+7=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +4x+7=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,666666667+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}\approx -0,666666667-1,374368542i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 4 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu -84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -68.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{17}i}{6}$$

Dividieren Sie -4+2i\sqrt{17} durch 6.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{17}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{17} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-4}{6}$$

Dividieren Sie -4-2i\sqrt{17} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+4x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+4x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+4x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{7}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{17}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

\frac{2}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-2+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-2}{3}$$