3x^2+3x+5=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 3 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 9 zu -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Dividieren Sie -3+i\sqrt{51} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{51} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Dividieren Sie -3-i\sqrt{51} durch 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie 3 durch 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{5}{3} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$