Nach x auflösen
x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922
x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887
Diagramm
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3x^{2}+2x-3=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}
2 zum Quadrat.
x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-3\right)}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -4 mit 3.
x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -12 mit -3.
x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 3}
Addieren Sie 4 zu 36.
x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 3}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 40.
x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}
Multiplizieren Sie 2 mit 3.
x=\frac{2\sqrt{10}-2}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{10}.
x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}
Dividieren Sie -2+2\sqrt{10} durch 6.
x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{10} von -2.
x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}
Dividieren Sie -2-2\sqrt{10} durch 6.
x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
3x^{2}+2x-3=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
3x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)
Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.
3x^{2}+2x=-\left(-3\right)
Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.
3x^{2}+2x=3
Subtrahieren Sie -3 von 0.
\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{3}{3}
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{3}
Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.
x^{2}+\frac{2}{3}x=1
Dividieren Sie 3 durch 3.
x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}
Addieren Sie 1 zu \frac{1}{9}.
\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}
Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}
\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}