3x^2+2x-3=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +2x-3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{6}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{10} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{10} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{6}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{10} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$3x^{2}+2x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{3}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{3}$$

Dividieren Sie 3 durch 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=1$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$