3x^2+2x+15=9 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 2 und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Dividieren Sie -2+2i\sqrt{17} durch 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{17} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Dividieren Sie -2-2i\sqrt{17} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Subtrahieren Sie 15 von 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Dividieren Sie -6 durch 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$