3x^2+17x+10=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=2 b=15$$

3x^{2}+17x+10 als \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+2=0 und x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 17 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 289 zu -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±13}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±13}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie -30 durch 6.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Dividieren Sie \frac{17}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{17}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{17}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{17}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Addieren Sie -\frac{10}{3} zu \frac{289}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{17}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$