3x^2+17x+10 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10$$

Faktorisieren

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=2 b=15$$

3x^{2}+17x+10 als \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 289 zu -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±13}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±13}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie -30 durch 6.

$$x=-5$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{3} und für x_{2} -5 ein.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}+17x+10=3\times \frac{3x+2}{3}\left(x+5\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}+17x+10=\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$