3x^2+11x=-24 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Addieren Sie 24 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Die Subtraktion von -24 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Subtrahieren Sie -24 von 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 11 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 121 zu -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{167} von -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Dividieren Sie -24 durch 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Dividieren Sie \frac{11}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Addieren Sie -8 zu \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

\frac{11}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$