3left(x-4right)^3=-375 lösen

$$3 { \left(x-4 \right) }^{ 3 } = -375$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-1$$

$$x=\frac{13+5\sqrt{3}i}{2}\approx 6,5+4,330127019i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i+13}{2}\approx 6,5-4,330127019i$$

Lösungsschritte

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\left(x-4\right)^{3}=\frac{-375}{3}$$

Dividieren Sie -375 durch 3, um -125 zu erhalten.

$$\left(x-4\right)^{3}=-125$$

\left(x-4\right)^{3} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}" erweitern.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64=-125$$

Auf beiden Seiten 125 addieren.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64+125=0$$

Addieren Sie -64 und 125, um 61 zu erhalten.

$$x^{3}-12x^{2}+48x+61=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 61 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±61,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie x^{3}-12x^{2}+48x+61 durch x+1, um x^{2}-13x+61 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$x^{2}-13x+61=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -13 und c durch 61.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 1\times 61}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{13±\sqrt{-75}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x^{2}-13x+61=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{-5i\sqrt{3}+13}{2} x=\frac{13+5i\sqrt{3}}{2}$$

Alle gefundenen Lösungen auflisten

$$x=-1 x=\frac{-5i\sqrt{3}+13}{2} x=\frac{13+5i\sqrt{3}}{2}$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

Lösungsschritte

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\left(x-4\right)^{3}=\frac{-375}{3}$$

Dividieren Sie -375 durch 3, um -125 zu erhalten.

$$\left(x-4\right)^{3}=-125$$

\left(x-4\right)^{3} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}" erweitern.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64=-125$$

Auf beiden Seiten 125 addieren.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64+125=0$$

Addieren Sie -64 und 125, um 61 zu erhalten.

$$x^{3}-12x^{2}+48x+61=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 61 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±61,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie x^{3}-12x^{2}+48x+61 durch x+1, um x^{2}-13x+61 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$x^{2}-13x+61=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -13 und c durch 61.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 1\times 61}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{13±\sqrt{-75}}{2}$$

Da die Quadratwurzel einer negativen Zahl im reellen Zahlenraum nicht definiert ist, gibt es keine Lösungen.

$$x\in \emptyset$$

Alle gefundenen Lösungen auflisten

$$x=-1$$