2x-2x^2=12 lösen

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+2x=12$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 2 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 4 zu -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -92.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Dividieren Sie -2+2i\sqrt{23} durch -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{23} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Dividieren Sie -2-2i\sqrt{23} durch -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Dividieren Sie 12 durch -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -6 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$