2x+1=4x^2+4x+5 lösen

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombinieren Sie 2x und -4x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1, um -4 zu erhalten.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch -2 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 4 zu -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{15} durch -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{15} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{15} durch -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombinieren Sie 2x und -4x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 5, um 4 zu erhalten.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Dividieren Sie 4 durch -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$