29x^2+8x+7=0 lösen

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 29, b durch 8 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Multiplizieren Sie -116 mit 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Addieren Sie 64 zu -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Dividieren Sie -8+2i\sqrt{187} durch 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{187} von -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Dividieren Sie -8-2i\sqrt{187} durch 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Division durch 29 macht die Multiplikation mit 29 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Dividieren Sie \frac{8}{29}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{29} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{29} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{29}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Addieren Sie -\frac{7}{29} zu \frac{16}{841}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

\frac{4}{29} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$