28x-6x^2=80 lösen

$$28 x - 6 x ^ { 2 } = 80$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}\approx 2,333333333+2,808716591i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}\approx 2,333333333-2,808716591i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-6x^{2}+28x=80$$

80 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-6x^{2}+28x-80=80-80$$

Die Subtraktion von 80 von sich selbst ergibt 0.

$$-6x^{2}+28x-80=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -6, b durch 28 und c durch -80, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -6.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+24\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 24 mit -80.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-1920}}{2\left(-6\right)}$$

Addieren Sie 784 zu -1920.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-1136}}{2\left(-6\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -1136.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -6.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -28 zu 4i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-28+4\sqrt{71}i}{-12}$$

Dividieren Sie -28+4i\sqrt{71} durch -12.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{71} von -28.

$$x=\frac{-4\sqrt{71}i-28}{-12}$$

Dividieren Sie -28-4i\sqrt{71} durch -12.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3} x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-6x^{2}+28x=80$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -6.

$$\frac{-6x^{2}+28x}{-6}=\frac{80}{-6}$$

Division durch -6 macht die Multiplikation mit -6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{28}{-6}x=\frac{80}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{80}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{80}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{40}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{40}{3}+\frac{49}{9}$$

Addieren Sie -\frac{40}{3} zu \frac{49}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{71}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{71}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{71}i}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{71}i}{3}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$