28k^2+k-2=0 lösen

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

Nach k auflösen

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 28k^{2}+ak+bk-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-7 b=8$$

28k^{2}+k-2 als \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right) umschreiben.

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

Klammern Sie 7k in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4k-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4k-1=0 und 7k+2=0.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 28, b durch 1 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

1 zum Quadrat.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie -112 mit -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Addieren Sie 1 zu 224.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-1±15}{56}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 15.

$$k=\frac{14}{56}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{56} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$k=\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-1±15}{56}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von -1.

$$k=-\frac{16}{56}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{56} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$28k^{2}+k=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

Division durch 28 macht die Multiplikation mit 28 rückgängig.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

Dividieren Sie \frac{1}{28}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{56} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{56} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{56}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

Addieren Sie \frac{1}{14} zu \frac{1}{3136}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Faktor k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

\frac{1}{56} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$