Nach k auflösen
k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}\approx -0,017857143+0,188136674i
k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}\approx -0,017857143-0,188136674i
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28k^{2}+k+1=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28}}{2\times 28}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 28, b durch 1 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28}}{2\times 28}
1 zum Quadrat.
k=\frac{-1±\sqrt{1-112}}{2\times 28}
Multiplizieren Sie -4 mit 28.
k=\frac{-1±\sqrt{-111}}{2\times 28}
Addieren Sie 1 zu -112.
k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{2\times 28}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -111.
k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}
Multiplizieren Sie 2 mit 28.
k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}
Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu i\sqrt{111}.
k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}
Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{111} von -1.
k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
28k^{2}+k+1=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
28k^{2}+k+1-1=-1
1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
28k^{2}+k=-1
Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.
\frac{28k^{2}+k}{28}=-\frac{1}{28}
Dividieren Sie beide Seiten durch 28.
k^{2}+\frac{1}{28}k=-\frac{1}{28}
Division durch 28 macht die Multiplikation mit 28 rückgängig.
k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{1}{28}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{56} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{56} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{3136}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{56}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{111}{3136}
Addieren Sie -\frac{1}{28} zu \frac{1}{3136}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{111}{3136}
Faktor k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{3136}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
k+\frac{1}{56}=\frac{\sqrt{111}i}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{\sqrt{111}i}{56}
Vereinfachen.
k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}
\frac{1}{56} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}