27x^2+55x+76=0 lösen

$$27 { x }^{ 2 } +55x+76=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-55+\sqrt{5183}i}{54}\approx -1,018518519+1,333204726i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5183}i-55}{54}\approx -1,018518519-1,333204726i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$27x^{2}+55x+76=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 27, b durch 55 und c durch 76, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-55±\sqrt{55^{2}-4\times 27\times 76}}{2\times 27}$$

55 zum Quadrat.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-4\times 27\times 76}}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 27.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-108\times 76}}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie -108 mit 76.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-8208}}{2\times 27}$$

Addieren Sie 3025 zu -8208.

$$x=\frac{-55±\sqrt{-5183}}{2\times 27}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -5183.

$$x=\frac{-55±\sqrt{5183}i}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 27.

$$x=\frac{-55±\sqrt{5183}i}{54}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-55±\sqrt{5183}i}{54}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -55 zu i\sqrt{5183}.

$$x=\frac{-55+\sqrt{5183}i}{54}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-55±\sqrt{5183}i}{54}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{5183} von -55.

$$x=\frac{-\sqrt{5183}i-55}{54}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-55+\sqrt{5183}i}{54} x=\frac{-\sqrt{5183}i-55}{54}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$27x^{2}+55x+76=0$$

76 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$27x^{2}+55x+76-76=-76$$

Die Subtraktion von 76 von sich selbst ergibt 0.

$$27x^{2}+55x=-76$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 27.

$$\frac{27x^{2}+55x}{27}=-\frac{76}{27}$$

Division durch 27 macht die Multiplikation mit 27 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{55}{27}x=-\frac{76}{27}$$

Dividieren Sie \frac{55}{27}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{55}{54} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{55}{54} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{55}{27}x+\left(\frac{55}{54}\right)^{2}=-\frac{76}{27}+\left(\frac{55}{54}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{55}{54}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{55}{27}x+\frac{3025}{2916}=-\frac{76}{27}+\frac{3025}{2916}$$

Addieren Sie -\frac{76}{27} zu \frac{3025}{2916}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{55}{27}x+\frac{3025}{2916}=-\frac{5183}{2916}$$

Faktor x^{2}+\frac{55}{27}x+\frac{3025}{2916}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{55}{54}\right)^{2}=-\frac{5183}{2916}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{54}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5183}{2916}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{55}{54}=\frac{\sqrt{5183}i}{54} x+\frac{55}{54}=-\frac{\sqrt{5183}i}{54}$$

\frac{55}{54} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-55+\sqrt{5183}i}{54} x=\frac{-\sqrt{5183}i-55}{54}$$