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27x^{2}+59x-21=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 27, b durch 59 und c durch -21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}
59 zum Quadrat.
x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}
Multiplizieren Sie -4 mit 27.
x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}
Multiplizieren Sie -108 mit -21.
x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}
Addieren Sie 3481 zu 2268.
x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}
Multiplizieren Sie 2 mit 27.
x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -59 zu \sqrt{5749}.
x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{5749} von -59.
x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
27x^{2}+59x-21=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)
Addieren Sie 21 zu beiden Seiten der Gleichung.
27x^{2}+59x=-\left(-21\right)
Die Subtraktion von -21 von sich selbst ergibt 0.
27x^{2}+59x=21
Subtrahieren Sie -21 von 0.
\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}
Dividieren Sie beide Seiten durch 27.
x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}
Division durch 27 macht die Multiplikation mit 27 rückgängig.
x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}
Verringern Sie den Bruch \frac{21}{27} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.
x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{59}{27}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{59}{54} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{59}{54} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{59}{54}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}
Addieren Sie \frac{7}{9} zu \frac{3481}{2916}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}
Faktor x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}
\frac{59}{54} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.