27x^2+33x-120=0 lösen

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 27, b durch 33 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

33 zum Quadrat.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie -108 mit -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Addieren Sie 1089 zu 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -33 zu 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Dividieren Sie -33+3\sqrt{1561} durch 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{1561} von -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Dividieren Sie -33-3\sqrt{1561} durch 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Addieren Sie 120 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Die Subtraktion von -120 von sich selbst ergibt 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Subtrahieren Sie -120 von 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Division durch 27 macht die Multiplikation mit 27 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{33}{27} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{120}{27} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Dividieren Sie \frac{11}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{18} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{18} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{18}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Addieren Sie \frac{40}{9} zu \frac{121}{324}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

\frac{11}{18} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$