256x^2-32x+1=0 lösen

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 256x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 256 ergeben.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -32 ergibt.

$$a=-16 b=-16$$

256x^{2}-32x+1 als \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right) umschreiben.

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Klammern Sie 16x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 16x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 256, b durch -32 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Addieren Sie 1024 zu -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{512} um den niedrigsten Term, indem Sie 32 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Division durch 256 macht die Multiplikation mit 256 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-32}{256} um den niedrigsten Term, indem Sie 32 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{256} zu \frac{1}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Addieren Sie \frac{1}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{1}{16}$$