25x^2-40x+16=0 lösen

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 25x^{2}+ax+bx+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 400 ergeben.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -40 ergibt.

$$a=-20 b=-20$$

25x^{2}-40x+16 als \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) umschreiben.

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -40 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 1600 zu -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Addieren Sie -\frac{16}{25} zu \frac{16}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{4}{5}$$