25x^2-30x=-9 lösen

$$25 x ^ { 2 } - 30 x = - 9$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 9 addieren.

$$25x^{2}-30x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 25x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 225 ergeben.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -30 ergibt.

$$a=-15 b=-15$$

25x^{2}-30x+9 als \left(25x^{2}-15x\right)+\left(-15x+9\right) umschreiben.

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(-15x+9\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(5x-3\right)-3\left(5x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(5x-3\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 5x-3=0.

$$x=\frac{3}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}-30x=-9$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$25x^{2}-30x-\left(-9\right)=-9-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}-30x-\left(-9\right)=0$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$25x^{2}-30x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -30 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 900 zu -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}-30x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{25}\right)x=-\frac{9}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Addieren Sie -\frac{9}{25} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{5}=0 x-\frac{3}{5}=0$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{5} x=\frac{3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{3}{5}$$