25x^2-30x+7=0 lösen

$$25 x ^ { 2 } - 30 x + 7 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{5}\approx 0,882842712$$

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}\approx 0,317157288$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}-30x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -30 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 7}}{2\times 25}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 7}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 7}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-700}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 900 zu -700.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{200}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 200.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±10\sqrt{2}}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30±10\sqrt{2}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{30±10\sqrt{2}}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±10\sqrt{2}}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 30 zu 10\sqrt{2}.

$$x=\frac{10\sqrt{2}+30}{50}$$

Dividieren Sie 30+10\sqrt{2} durch 50.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±10\sqrt{2}}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{2} von 30.

$$x=\frac{30-10\sqrt{2}}{50}$$

Dividieren Sie 30-10\sqrt{2} durch 50.

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{5} x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}-30x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}-30x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}-30x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-30x}{25}=-\frac{7}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{25}\right)x=-\frac{7}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=-\frac{7}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{25}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-7+9}{25}$$

Addieren Sie -\frac{7}{25} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{2}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{2}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{2}}{5}$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{5} x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}$$