25x^2+150x+216 lösen

$$25 x ^ { 2 } + 150 x + 216$$

Faktorisieren

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 25x^{2}+ax+bx+216 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=150 ab=25\times 216=5400$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 5400 ergeben.

$$1,5400 2,2700 3,1800 4,1350 5,1080 6,900 8,675 9,600 10,540 12,450 15,360 18,300 20,270 24,225 25,216 27,200 30,180 36,150 40,135 45,120 50,108 54,100 60,90 72,75$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+5400=5401 2+2700=2702 3+1800=1803 4+1350=1354 5+1080=1085 6+900=906 8+675=683 9+600=609 10+540=550 12+450=462 15+360=375 18+300=318 20+270=290 24+225=249 25+216=241 27+200=227 30+180=210 36+150=186 40+135=175 45+120=165 50+108=158 54+100=154 60+90=150 72+75=147$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 150 ergibt.

$$a=60 b=90$$

25x^{2}+150x+216 als \left(25x^{2}+60x\right)+\left(90x+216\right) umschreiben.

$$\left(25x^{2}+60x\right)+\left(90x+216\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 18 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(5x+12\right)+18\left(5x+12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$25x^{2}+150x+216=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-150±\sqrt{150^{2}-4\times 25\times 216}}{2\times 25}$$

150 zum Quadrat.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-4\times 25\times 216}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-100\times 216}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 216.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-21600}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 22500 zu -21600.

$$x=\frac{-150±\sqrt{900}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 900.

$$x=\frac{-150±30}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-150±30}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-150±30}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -150 zu 30.

$$x=-\frac{120}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-120}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{12}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-150±30}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30 von -150.

$$x=-\frac{180}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-180}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{12}{5} und für x_{2} -\frac{18}{5} ein.

$$25x^{2}+150x+216=25\left(x-\left(-\frac{12}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{18}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$25x^{2}+150x+216=25\left(x+\frac{12}{5}\right)\left(x+\frac{18}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{12}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{5x+12}{5}\left(x+\frac{18}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{18}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{5x+12}{5}\times \frac{5x+18}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x+12}{5} mit \frac{5x+18}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)}{5\times 5}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 5.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)}{25}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 25 in 25 und 25 aufheben.

$$25x^{2}+150x+216=\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Auswerten

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$