25a^2-35a+12 lösen

$$25 a ^ { 2 } - 35 a + 12$$

Faktorisieren

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 25a^{2}+pa+qa+12 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=-35 pq=25\times 12=300$$

Weil pq positiv ist, haben p und q dasselbe Vorzeichen. Weil p+q negativ ist, sind p und q beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 300 ergeben.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -35 ergibt.

$$p=-20 q=-15$$

25a^{2}-35a+12 als \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right) umschreiben.

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-15a+12\right)$$

Klammern Sie 5a in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5a\left(5a-4\right)-3\left(5a-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5a-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$25a^{2}-35a+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

-35 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-100\times 12}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 12.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 1225 zu -1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -35 ist 35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$a=\frac{35±5}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{35±5}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 35 zu 5.

$$a=\frac{40}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{4}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{35±5}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 35.

$$a=\frac{30}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{3}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{5} und für x_{2} \frac{3}{5} ein.

$$25a^{2}-35a+12=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{5} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-3}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{5a-4}{5} mit \frac{5a-3}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{5\times 5}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 5.

$$25a^{2}-35a+12=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)}{25}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 25 in 25 und 25 aufheben.

$$25a^{2}-35a+12=\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$

Auswerten

$$\left(5a-4\right)\left(5a-3\right)$$