25x^2-90x+87=0 lösen

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1,8+0,489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1,8-0,489897949i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -90 und c durch 87, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

-90 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 87.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 8100 zu -8700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -600.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -90 ist 90.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 90 zu 10i\sqrt{6}.

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

Dividieren Sie 90+10i\sqrt{6} durch 50.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10i\sqrt{6} von 90.

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

Dividieren Sie 90-10i\sqrt{6} durch 50.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

87 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

Die Subtraktion von 87 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}-90x=-87$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-90}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{18}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

Addieren Sie -\frac{87}{25} zu \frac{81}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

Addieren Sie \frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$