25x^2-90x+77=0 lösen

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -90 und c durch 77, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

-90 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 8100 zu -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -90 ist 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±20}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 90 zu 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{110}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{11}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±20}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{70}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

77 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Die Subtraktion von 77 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-90}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{18}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Addieren Sie -\frac{77}{25} zu \frac{81}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Addieren Sie \frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$