25x^2+30x=12 lösen

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0.316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1.516515139$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}+30x=12$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch 30 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 900 zu 1200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2100.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -30 zu 10\sqrt{21}.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

Dividieren Sie -30+10\sqrt{21} durch 50.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{21} von -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

Dividieren Sie -30-10\sqrt{21} durch 50.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}+30x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

Addieren Sie \frac{12}{25} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$