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25x^{2}+30x=12
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
25x^{2}+30x-12=12-12
12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
25x^{2}+30x-12=0
Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch 30 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}
30 zum Quadrat.
x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}
Multiplizieren Sie -4 mit 25.
x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}
Multiplizieren Sie -100 mit -12.
x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}
Addieren Sie 900 zu 1200.
x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2100.
x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}
Multiplizieren Sie 2 mit 25.
x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -30 zu 10\sqrt{21}.
x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}
Dividieren Sie -30+10\sqrt{21} durch 50.
x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{21} von -30.
x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}
Dividieren Sie -30-10\sqrt{21} durch 50.
x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
25x^{2}+30x=12
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}
Dividieren Sie beide Seiten durch 25.
x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}
Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.
x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}
Verringern Sie den Bruch \frac{30}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.
x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}
Addieren Sie \frac{12}{25} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}
Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}
\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.