25x^2+115x+60=0 lösen

$$25 { x }^{ 2 } +115x+60=0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}+115x+60=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch 115 und c durch 60, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-115±\sqrt{115^{2}-4\times 25\times 60}}{2\times 25}$$

115 zum Quadrat.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-4\times 25\times 60}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-100\times 60}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 60.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-6000}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 13225 zu -6000.

$$x=\frac{-115±\sqrt{7225}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7225.

$$x=\frac{-115±85}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-115±85}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-115±85}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -115 zu 85.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-115±85}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 85 von -115.

$$x=-\frac{200}{50}$$

Dividieren Sie -200 durch 50.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{5} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}+115x+60=0$$

60 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$25x^{2}+115x+60-60=-60$$

Die Subtraktion von 60 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}+115x=-60$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}+115x}{25}=-\frac{60}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{115}{25}x=-\frac{60}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{115}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{23}{5}x=-\frac{60}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-60}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{23}{5}x=-\frac{12}{5}$$

Dividieren Sie \frac{23}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{23}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{23}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{23}{5}x+\left(\frac{23}{10}\right)^{2}=-\frac{12}{5}+\left(\frac{23}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{23}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=-\frac{12}{5}+\frac{529}{100}$$

Addieren Sie -\frac{12}{5} zu \frac{529}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=\frac{289}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{23}{10}=\frac{17}{10} x+\frac{23}{10}=-\frac{17}{10}$$

\frac{23}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{5} x=-4$$